신호처리 이론과 원리

1. 신호(Signal)란 무엇인가?

• • 정의: 신호는 시간이나 공간 등에 따라 변하는 어떤 양(quantity)으로 표현되는 정보입니다.

  • 예시:

  • 목소리 (시간에 따른 공기 압력 변화)

  • 음악 (시간에 따른 소리의 진동)

  • 영상 (공간과 시간에 따른 빛의 밝기와 색상)

  • 온도 (시간에 따른 온도 값)

  • 주가 (시간에 따른 가격)

  • 뇌파 (시간에 따른 전기적 활동)

  • 종류:

  • 아날로그 신호: 시간과 크기(진폭)가 모두 연속적인 신호 (실제 자연 현상 대부분)

  • 디지털 신호: 시간과 크기가 모두 이산적(불연속적)인 값으로 표현된 신호 (컴퓨터가 처리하는 신호)

2. 신호 처리(Signal Processing)란 무엇인가?

• • 신호 처리는 이러한 신호를 분석하고, 해석하고, 조작(manipulate)하는 모든 과정을 말합니다.

  • 목표:

  • 신호에서 유용한 정보를 추출하기 (예: 음성에서 노이즈 제거하고 말소리만 듣기)

  • 신호를 효율적으로 전송하거나 저장하기 (예: 음악 파일 압축)

  • 신호를 원하는 형태로 변환하거나 향상시키기 (예: 이미지 필터 적용)

3. 신호 처리의 핵심 원리

• • 시간 영역(Time Domain)과 주파수 영역(Frequency Domain): 푸리에 변환(Fourier Transform)

  • 시간 영역: 신호가 시간에 따라 어떻게 변하는지 그대로 보는 것 (우리가 보통 보는 그래프).

  • 주파수 영역: 신호가 어떤 주파수 성분(얼마나 빠른 변화 또는 느린 변화)들로 구성되어 있는지 분석하는 것. 마치 프리즘이 백색광을 여러 색깔(다른 주파수의 빛)로 분해하는 것과 비슷합니다.

  • 푸리에 변환: 시간 영역 신호를 주파수 영역 신호로 바꾸는 수학적인 도구입니다. 이를 통해 신호의 주기성, 특정 주파수 성분의 강도 등을 파악할 수 있습니다. (디지털 신호에서는 DFT, FFT 사용)

  • 왜 중요할까? 노이즈는 보통 특정 주파수 대역에 몰려있거나, 신호의 중요한 특징이 특정 주파수에 나타나는 경우가 많습니다. 주파수 영역에서 분석하면 이런 특징을 파악하고 신호를 필터링하거나 압축하는 데 매우 유용합니다.

  • 시스템(System)과 선형 시불변(LTI) 시스템:

  • 시스템: 신호를 입력받아 어떤 처리를 한 후 다른 신호를 출력하는 것 (예: 마이크, 스피커, 필터 회로).

  • LTI 시스템 (Linear Time-Invariant System): 신호 처리에서 가장 중요하게 다루는 시스템 유형입니다.

  • 선형성(Linearity): 입력 신호의 합에 대한 출력은 각 입력 신호에 대한 출력의 합과 같습니다 (중첩 원리). 입력 신호의 크기를 바꾸면 출력 신호의 크기도 같은 비율로 바뀝니다.

  • 시불변성(Time-Invariance): 입력 신호를 시간적으로 이동시키면 출력 신호도 똑같이 시간 이동만 일어납니다. 즉, 시스템의 특성이 시간에 따라 변하지 않습니다.

  • 왜 LTI가 중요할까? LTI 시스템은 예측 가능하고 분석하기 쉬워서 많은 실제 시스템을 LTI로 근사하거나 모델링합니다.

  • 임펄스 응답(Impulse Response)과 컨볼루션(Convolution):

  • 임펄스 응답: LTI 시스템에 아주 짧고 강한 충격(임펄스) 신호를 입력했을 때 나오는 출력 신호입니다. 이것은 시스템의 고유한 특성을 나타냅니다. 마치 시스템의 "레시피"와 같습니다.

  • 컨볼루션: 어떤 입력 신호가 LTI 시스템을 통과했을 때 나오는 출력 신호는, 입력 신호와 시스템의 임펄스 응답을 컨볼루션이라는 수학 연산을 통해 계산할 수 있습니다. (시간 영역에서의 분석)

  • 주파수 영역에서의 관계: 시간 영역에서 컨볼루션은 주파수 영역에서 곱셈으로 변환됩니다. 즉, (입력 신호의 푸리에 변환) × (임펄스 응답의 푸리에 변환 = 주파수 응답) = (출력 신호의 푸리에 변환) 이 됩니다. 이는 계산을 훨씬 쉽게 만들어 줍니다.

  • 샘플링(Sampling)과 양자화(Quantization): 아날로그에서 디지털로

  • 샘플링: 아날로그 신호를 일정한 시간 간격으로 측정하여 이산적인 데이터 점들로 만드는 과정입니다.

  • 샘플링 정리 (나이퀴스트-섀넌 정리): 신호에 포함된 가장 높은 주파수의 2배 이상의 속도로 샘플링해야 원래 신호의 정보를 손실 없이 복원할 수 있다는 매우 중요한 원리입니다. 이 속도보다 느리게 샘플링하면 **에일리어싱(aliasing)**이라는 왜곡 현상이 발생합니다.

  • 양자화: 샘플링된 각 데이터 점의 크기(진폭)를 정해진 몇 개의 이산적인 레벨 값 중 하나로 근사시키는 과정입니다. 이 과정에서 약간의 오차(양자화 잡음)가 발생합니다.

  • 필터링(Filtering):

  • 신호에서 원하는 주파수 성분만 통과시키거나 원하지 않는 주파수 성분을 제거하는 과정입니다.

  • 종류: 저역 통과 필터(낮은 주파수 통과), 고역 통과 필터(높은 주파수 통과), 대역 통과 필터(특정 주파수 대역 통과) 등.

  • 응용: 노이즈 제거, 특정 신호 분리, 이퀄라이저 등에 사용됩니다.

요약:

신호처리 이론은 정보를 담고 있는 신호를 수학적으로 표현하고(시간/주파수 영역), 예측 가능한 시스템(특히 LTI)을 통해 분석하고 변환하는 원리를 다룹니다. 핵심은 푸리에 변환을 통해 신호를 주파수 성분으로 분해하는 것, LTI 시스템의 특성을 임펄스 응답과 컨볼루션으로 이해하는 것, 그리고 샘플링 정리에 따라 아날로그 신호를 디지털로 변환하는 것입니다. 이러한 원리들을 바탕으로 필터링, 압축, 정보 추출 등 다양한 응용이 가능해집니다.